Красивые числа

Разбор

Каждое красивое число однозначно определяется набором из своих последних 4х различных цифр и их порядком. Также сумма этих цифр должна быть не более 9.

Давайте найдём количество таких наборов. Пусть a < b < c < d — цифры этого набора.

Если a >= 1, то сумма этих четырёх цифр не меньше 1 + 2 + 3 + 4, что больше 9.
Значит, a = 0. Тут возможны 2 случая: b = 1 или же b >= 2.

1. b = 1. Тогда c >= 2.
Если c >= 4, то d >= 5, и сумма четырёх цифр не меньше 0 + 1 + 4 + 5, что больше 9.
Значит, c <= 3. Получаем 2 случая: c = 2 или c = 3.

1.1. c = 2. Тогда d >= 3, и 0 + 1 + 2 + d <= 9, т.е. d <= 6. Цифра d может принимать 4 значения: 3,4,5 и 6. Значит, таких наборов 4.

1.2. c = 3. Тогда d >= 4, и 0 + 1 + 3 + d <= 9, т.е. d <= 5. Цифра d может принимать 2 значения: 4 и 5. Значит, таких наборов 2.

2. b >= 2. Тогда c >= 3, d >= 4, и сумма всех четырёх цифр 9 >= a + b + c + d >= 0 + 2 + 3 + 4 = 9. Это возможно лишь при равенстве b = 2, c = 3, d = 4. Значит, такой набор только один.

В итоге получаем: 4 + 2 + 1 = 7 наборов. Теперь найдём количество перестановок из 4х различных цифр. Это будет 4! = 24.

Ответ: 7 * 24 = 168 красивых чисел.