Задачка о трехсторонней дуэли

Хитрый Джек Воробей, благородный Уилл Тёрнер и честолюбивый капитан Норрингтон сходятся в трёхсторонней дуэли.

Известно, что

• для Джека Воробья вероятность попасть в цель равна 0,3
• для капитана Норрингтона - 0,5
• Уилл Тёрнер стреляет без промаха.

Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет Джек Воробей, затем Уилл Тёрнер, дальше капитан Норрингтон и т.д., пока лишь один человек останется жив.

Какой должна быть стратегия Джека Воробья?

Разбор

У Джека Вороьбя мало шансов в этой дуэли. Однако попробуем определить наиболее подходящую стратегию!

• Если Джек стреляет 1м, то при попадании в капитана Норрингтона наверняка Уилл Тёрнер пристрелит его. Поэтому Джек не должен стрелять в капитана Норрингтона.
• Если же Джек выстрелит в Уилла Тёрнера и промахнется, то Уилл Тёрнер, наверное, пристрелит более опасного капитана Норрингтона первым и дальше Джек сможет стрелять в Уилла с вероятностью попадания 0.3. Если же Джек промахнется, то это конец.
• Однако если мы предположим, что Джек попадет в Уилла Тернера. Тогда капитан Норрингтон и Джек Воробей будут перестреливаться до первого попадания. Тут шансы положительного исхода для Джека следующие:
  
  0.5 * 0.3 + (0.5)^2 * 0.7 * 0.3 + (0.5)^3 * (0.7)^2 * 0.3 + ...
  
  Суммируя геометрический ряд, получаем:
  0.5 * 0.3 / (1 - 0.5 * 0.7) = 0.15 / 0.65 = 3 / 13
  Очевидно, что 3 / 13 меньше чем 3 / 10 (0.3).

Таким образом, попасть в Уилла Тернера и затем стреляться с капитаном Норрингтоном - стратегия, которая дает Джеку меньшую вероятность выигрыша, чем пропуск первого выстрела.

Поэтому Джек Воробей должен стрелять мимо всех, а затем постараться попасть в Уилла Тернера. В этом случае шансы выше.